- Überzeugen Sie sich bitte selber von den Vorzügen einer
formalen Sprache für die Aussagenlogik, indem Sie hundertmal
die Aussage "Wenn Frau Holle ihre Blumen zu stark gießt oder
größere Mengen stark entwässernden Tees getrunken hat,
dann regenet es" aufschreiben. Beobachten Sie genau Ihre Reaktionen
und halten Sie dabei fest, ab dem wievielten Mal Ihnen der Sinn der
formalen Sprache klar wird.
- Stellen Sie bitte ein paar möglichst schöne wohlgeformte
Gebilde der aussagenlogischen Sprache auf. Ihrer Phantasie sind dabei
keinerlei Grenzen gesetzt. Noch interessanter können Sie diese Aufgabe
gestalten, indem Sie die wohlgeformten Gebilde mit Girlanden, Tiermotiven
oder dergleichen verzieren.
- Ermitteln Sie bitte, welche der folgenden Gebilde keine wohlgeformten
Gebilde unserer aussagenlogischen Sprache sind, und begründen Sie
gaaanz kurz, warum sie das nicht sind.
Achtung: Wenn Ihr Browser Unicode-Zeichen
nicht richtig darstellen kann, dann sehen Sie anstelle der schönen
Konnektive unschöne Kästchen oder Schlimmeres. Versuchen Sie in
diesem Fall, in Ihrem Browser einen Unicode-Zeichensatz einzustellen.
- P∧Q
- P←Q
- ((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)))
- ¬(P∧¬P)
- Übersetzen Sie bitte die eine oder andere der folgenden Aussagen
in die Sprache der Aussagenlogik:
- Wenn es regnet und Frau Holle ihre Blumen gießt, dann regnet es.
- Fekter, Feymann, Grasser, Hochstetter, Meischberger, Mikl-Leitner,
Strache und Strasser machen Karriere, und ein guter Tag beginnt mit einem
ausgeglichenen Budget.
- Wenn ich bei der ersten oder der zweiten Prüfung einen Einser
bekomme, dann bekomme ich auf jeden Fall eine positive Abschlussnote.
Anmerkung: Hier können Sie das "wenn...
dann" mit einem Pfeil übersetzen, wenn Sie möchten.
Üben
Stellen Sie bitte fest, welche der folgenden Argumente gültig sind
und welche der folgenden Argumente ungültig sind. So etwas macht
sehr viel Spaß.
- Aus den beiden Aussagen P sowie Q folgt (P→Q).
- Aus den drei Aussagen P∧Q, P sowie R folgt Q∧R.
- Aus der Aussage P→Q folgt die Aussage ¬P→¬Q
- Aus den Aussagen P→¬Q sowie Q folgt die Aussage ¬P.
- Aus der Aussage P folgt die Aussage Q→Q.
- Aus den beiden Aussagen P∧Q sowie ¬Q folgt die Aussage R.
Denken
- Wie viele unterschiedliche zweistellige Konnektive kann es höchstens
geben?
- Kann man für vierwertige Logik (=Logik mit vier verschiedenen
Wahrheitswerten) Wahrheitstabellen aufstellen? Und wie viele Zeilen
hätten die dann?
- Eine Menge von Aussagen nennt man genau dann inkonsistent, wenn
es unmöglich ist, dass all diese Aussagen zugleich wahr sind.
Wie kann man feststellen, ob eine Menge von Aussagen inkonsistent ist?
- Kann ein Argument ungültig sein, dessen Konklusion "Faymann
ist der Bundeskanzler der Herzen" lautet? Warum/warum nicht?
Zeigen Sie bitte, dass einige der folgenden Argumente syntaktisch
gar gültig sind:
- Aus P→R sowie Q→R folgt (P∧Q)→R.
- Aus P→Q sowie R→S folgt (P∧R)→(Q∧S)
[Achtung:
Die ursprüngliche Angabe enthielt einen Tippfehler und war daher
leider nicht gültig.]
- Aus P∨Q folgt ¬P→Q
- Aus R, Q∨S, (T∧R)→¬S folgt T→Q.
- * Aus P∧T, P∧R, Q∨S sowie (T∧R)→¬S folgt Q.
Herrliche Herleitungen
Leiten Sie bitte einige (nicht alle!) der folgenden Argumente her.
Wenn Sie das
nicht auf dem Papier tun(sic!), sondern ihre Herleitung interaktiv
mit dem Beweisbauer
zusammenklicken, dann hat das Vor- und Nachteile - Vorteil: Man kann Regeln
nicht falsch anwenden; Nachteil: Das Ganze schaut optisch ein bissi
anders aus als an der Tafel/auf dem Papier, uuund die vB funktioniert
anders.
Übrigens: Die Beispiele sind ungefähr nach aufsteigender
Schwierigkeit geordnet, auch wenn das natürlich höchst
subjektiv ist.
- Aus P folgt Q→P
- Aus Q→R sowie P folgt (P∧R)→(P∧R)
- Aus ¬(P∨Q) folgt ¬P
- Aus ¬P folgt ¬(P∧Q)
- Aus der leeren Prämissenmenge folgt P→P.
- Aus P→Q folgt ¬Q→¬P
- Aus ¬(P∨Q) folgt ¬P∧¬Q.
- Aus ¬P∨Q folgt P→Q.
- Aus P∧¬Q folgt ¬(P→Q)
- Aus P→(Q∨R) sowie ¬P∨Q folgt ¬Q→R.
- Aus ¬(P→Q) folgt P∧¬Q.
- Aus P→Q folgt ¬P∨Q
Sensible Semantik
- Basteln Sie bitte eine Aussage, die den Wahrheitswertverlauf W-F-W-F
hat.
- Basteln Sie bitte eine Aussage, die den Wahrheitswertverlauf
W-F-F-F-F-W-F-W hat.
- Wieviele verschiedene einstellige Junktoren gibt es für
die klassische Aussagenlogik? Welche davon verwenden wir, und warum
verwenden wir die anderen nicht?
- Warum gibt es in unserer logischen Sprache keine dreistelligen Junktoren,
keine vierstelligen Junktoren, keine fünfstelligen Junktoren,
keine sechsstelligen Junktoren und überhaupt keine n-stelligen
Junktoren mit n > 2...?
- Ich habe behauptet, aber nicht begründet oder gar formal
bewiesen, dass unsere Konnektivmenge {¬, ∧, ∨, →, ↔}
funktional vollständig ist. Finden denn Sie eine (ganz informelle)
Begründung dafür, dass diese Behauptung stimmen könnte?
- Finden Sie ausgehend von unserer (wahrheits)funktional vollständigen
Konnektivmenge {¬, ∧, ∨, →, ↔} die eine oder andere
kleinere Konnektivmenge, die ebenfalls funktional vollständig ist.
Und: Wie könnte das gehen?
- Wie viele Elemente muss eine funktional vollständige Konnektivmenge
mindestens haben, und warum...?
Heute gibt's keine eigene Hausübung, weil nächsten Montag eh
schon Prüfung ist. Üben Sie einfach hemmungslos (es sind
bestimmt noch genug ungelöste Hausübungsbeispiele übrig,
auch können Sie ja auf die vergangenen Semester und deren
Hausübungen und Prüfungsangaben zurückgreifen).
Ziehen Sie auch in Erwägung, Ihre Herleitungen gleich
interaktiv mit dem allerliebsten
Beweisbauer
zu erstellen - auf diese Weise erhalten Sie unmittelbare
Rückmeldung, ob Ihre Herleitung richtig ist.
Sonst: Viel Spaß bei der Prüfung.
Übersetzen Sie doch bitte ein paar der folgenden Aussagen in die
jeweils andere Sprache.
- Alle Schafe sind freundlich.
- Es gibt mindestens ein freundliches Schaf.
- Mindestens ein Schaf trinkt gerne warmes Bier.
- Jedes rosa Schwein hat eine herzförmige Rüsselscheibe.
- Nur Schafe trinken im Sommer warmes Bier.
- Jede/r bewundert mindestens eine/n Politiker/in.
- Jede/r Politiker/in wird von mindestens einem Wähler bewundert.
- Faymann und Spindelegger sind verheiratet.
- Jedes Schwein hat einen Kopf.
- Jeder Schweinekopf ist ein Tierkopf.
- ∀x(Fx→(Gx∨Hx)) mit F_ … _ ist ein Schaf, G_ … _ arbeitet in einem Sozialberuf,
H_ … _ ist erwerbslos.
- ∃x(Fx∧¬(Gx∨Hx))
Basteln Sie bitte für einige der folgenden Aussagen eine Interpretation,
in der die jeweilige Aussage wahr ist, und/oder eine Interpretation, in
der die jeweilige Aussage falsch ist.
- ∀x(Fx→Gx)
- ∃x(Fx∧Gx)
- ∃x(Fx∨Gx)
- ∃x(Fx∧¬(Gx∨Hx))
- ∃xFx∧∃xGx
- ∀xFx
- Fa∨Ga
- Fa∨Gb
Übersetzen und die Geselligkeit
Übersetzen Sie doch bitte einfach einige der folgenden
Aussagen in die jeweils andere Sprache.
Wenn Sie diese Übung noch interessanter gestalten wollen:
Lassen Sie Ihre Lösungen ein paar Tage abliegen und übersetzen
Sie sie dann - ohne das Original anzuschauen - zurück. Vergleichen und
staunen Sie.
Einsamkeit und Entfremdung sind ein verbreitetes Problem in unserer
schnelllebigen Zeit. Wenn Sie Ihren Alltag mit sozialer Wärme
füllen wollen, dann binden Sie in diese Hausübung Ihre Freunde/innen,
Verwandten, Nachbar(innen), Arbeitskolleg(inn), Pfleger/Wärter/innen
ein! Lassen Sie sie nach dem "Stille Post"-Prinzip die einzelnen
Aufgabenstellungen in einer Kette hin- und herübersetzen. Vergleichen
Sie dann gemeinsam die Rückübersetzung mit der jeweiligen
Ausgangsaussage: Stunden spannender Unterhaltung und lustiger
Geselligkeit sind garantiert!
- Nur große Schweine suhlen im tiefen Schlamm.
- Alle Schweine suhlen gerne.
- Rosa Schweine haben empfindliche Haut.
- Das Schwarzbraune Bergschaf Wolltraude wäscht sich nur mit
Fewa Wolle den Kopf.
- Mr. Burns ist reich und hat kräftige, spitze Zähne.
- Das Hausschwein Ilse schaltet nur dann seine Geschirrspülmaschine
ein, wenn sie gut gefüllt ist.
- Alle Schweine sind freundlich, aber nur Wollschweine sind auch
wollig.
- Es gibt mindestens zwei sprechende Wasservögel.
- Kein/e Politiker/in, der an einer von Lobbyisten veranstalteten
Jagd teilnimmt, verhält sich korrekt.
- Dem damaligen Kabinettchef von Verkehrsministerin Bures wird
vorgeworfen, im Jahr 2009 Gesetze im Sinn der A1 Telekom beeinflusst
zu haben.
- Mindestens ein Zahntechniker liebt tollwütige
Straßenhunde.
- Kein ehemaliger Zahntechniker, der sich als Berufspolitiker
lästiger Erwerbsarbeit entziehen kann, liebt intelligente Menschen.
Bissi Semantik
Finden Sie doch bitte einfach für die eine oder andere der
obigen Aussagen die eine oder andere Interpretation, in der die
jeweilige Aussage den einen oder anderen Wahrheitswert annimmt.
Leiten Sie bitte einige der folgenden Argumente her:
- Es gibt rosa Schweine. Alle Schweine sind freundliche Individuen.
Also gibt es freundliche Individuen, die rosa sind.
- Es gibt berufstätige Schafe. Alle Schafe sind entweder
erwerbslos oder arbeiten als Sozialarbeiter/innen. Also ist mindestens
ein/e Sozialarbeiter/in ein Schaf.
- Aus ∃x(Fx∧Gx) folgt ∃xFx.
- Aus ∃x(Fx∧Gx) sowie ∀(Fx→Hx) folgt
∃xHx.
Zeigen Sie bitte für einige der folgenden Argumente, dass sie
ungültig sind! (Wie macht man das?)
- Aus ∃xFx folgt ∀xFx.
- Aus ∃xFx sowie ∃xGx folgt ∃x(Fx∧Gx).
- Für jedes Ding gibt/gab es einen Zeitpunkt, an dem es nicht
existiert. Also gibt/gab es einen Zeitpunkt, an dem gar kein Ding existiert
hat.
- Es gibt wollige Schweine. Also gibt es auch Schweine, die nicht
wollig sind.
- Finden Sie bitte für einige der folgenden Aussagen mindestens
ein Modell, in dem diese Aussage wahr ist, und mindestens ein
Modell, in dem diese Aussage falsch ist:
- Alle Schafe sind wollig, aber Wolltraude ist wolliger
als alle anderen Schafe.
- Scheuch ist keine illegale Handlung erinnerlich.
- ∀x(Fx∨Gx)
- ∀xFx∨∀xGx
- ∃x∃y((Fx∧Fy)∧¬x=y)
- Übersetzen Sie bitte jeder Aussage aus dem vorangehenden
Beispiel in die jeweils andere Sprache.
- Zeigen Sie bitte für einige der folgenden ungültigen
Argumente, dass sie ungültig sind:
- Aus ∀x(Fx∨Gx) folgt
∀xFx∨∀xGx.
- Aus ∀x(Fx→Gx) sowie Ga folgt
Fa.
- Aus ∀x(Fx→Gx) sowie
∀x(Gx→Hx) folgt
∀x(Hx→Fx).
Zurück zur Lehrveranstaltungsseite...
2012-06-13 15:28:14
christian.gottschall@posteo.de