Hausübungen

Gliederung

  1. Präambel
  2. 10. März 2016
  3. 7. April 2016
  4. 14. April 2016
  5. 21. April 2016
  6. 28. April 2016
  7. 12. Mai 2016
  8. 19. Mai 2016
  9. 6. Juni 2016

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Hausübungen

Präambel

Bevor Sie diese Angaben betrachten, möchte ich daran erinnern, dass:

  1. Sie nicht notwendigerweise alle Aufgaben lösen können.
  2. Fragen oft gescheiter sind als Antworten und nicht alle gescheiten Fragen eine richtige Antwort haben oder eine richtige Antwort haben.
  3. Sie sowieso niemals alle Aufgaben lösen sollen.

Umgekehrt lautet die Empfehlung aber doch, von jeder Aufgabenklasse mindestens ein, zwei Aufgaben zu lösen oder zu lösen zu versuchen und die Lösung oder den Lösungsversuch abzugeben; und weiters, die Fragen, über die sich nachdenken lässt, zumindest einmal kurz im Kopf durchzugehen und, so sie nicht verständlich sind, beim jeweils nächsten Termin eine Erklärung einzufordern, und, so Sie keine richtige Antwort kennen oder nicht wissen, ob die richtigen Antworten, die Sie kennen, richtige Antworten sind, beim jeweil nächsten Termin Klärung einzufordern.

10. März 2016

Diesmal gibt es noch gar nicht genug Stoff für eine richtige Hausübung, die abzugeben sich lohnen würde. Denken Sie einfach über die folgenden Fragen nach und artikulieren Sie beim nächsten Termin, wenn etwas nicht klar oder unklar ist.

Achtung: Am 17. März findet die Übung leider nicht statt, und danach sind Osterferien, sodass die nächste Übung erst am 7. April stattfindet. Sie haben also ein bisschen Zeit, über die folgenden Fragen nachzudenken.

  1. Die einstellige Verknüpfung "~" oder "¬" der klassischen Logik ähnelt der deutschen Satzverneinung "Es ist nicht der Fall, dass…" und ändert den Wahrheitswert der Aussage, auf die sie angewendet wird, in ihr Gegenteil. Was passiert, wenn eine Aussage zweimal, dreimal, viermal, fünfmal, sechsmal, siebenmal, achtmal, neunmal oder öfter verneint wird (z.B.: "¬Es regnet", "¬¬Es regnet", "¬¬¬¬¬¬Es regnet")?
  2. Satzverknüpfungen sind Wörter, Wortfolgen oder Zeichen, die ein(!), zwei oder mehrere Sätze, hm, verknüpfen. Im Deutschen kann z.B. das Wort "und" als Satzverknüpfung verwendet werden (z.B. im Satz "Es schneit, und Rotkäppchen rodelt auf seiner Ukulele ins Tal"). Man nennt eine Satzverknüpfung genau dann klassisch (das Wort kennen Sie!), wenn sich die Bedeutung bzw. der Wahrheitswert des zusammengesetzten Satzes rein aus den Bedeutungen bzw. Wahrheitswerten der Teilsätze ermitteln lässt (auch das kennen Sie schon). Welche der folgenden Gebilde sind (oder können sein) (a) überhaupt Satzverknüpfungen, und welche sind (b) klassische Satzverknüpfungen?
    "es ist nicht der Fall, dass…", "es ist verboten, dass…", "es ist schön, dass…", "ich glaube, dass…", "…und…", "…oder…", "…ist größer als…", "…weil…", "weder…, noch…", "…aber…", "…, aber nicht… oder…"
  3. Es gibt ganz viele verschiedene Satzverknüpfungen. Zweistellig nennt man solche, die zwei Sätze verknüpfen - sie kennen z.B. die zweistellige Verknüpfung "∧" ("…und…") und "¬" ("Es ist nicht der Fall, dass…"). Wievielstellig muss eine Satzverknüpfung mindestens sein, und wievielstellig kann eine Satzverknüpfung höchstens sein?
  4. Wenn man zwei Aussagen mit der Verknüfung "∧" ("und") verbindet, dann ist die entstehende Aussage nur dann wahr, wenn beide verknüpften Aussagen wahr sind - in jedem anderen Fall ist die entstandene Aussage falsch. Wie könnte man im Deutschen eine Verknüpfung formulieren, bei der die entstehende Aussage nur dann wahr ist, wenn beide Teilaussagen falsch sind?
  5. Betrachten Sie folgendes Argument: "Alle Katzen sind Hunde. Die Erde ist eine Scheibe. Daraus folgt: alle Katzen sind Hunde, und die Erde ist eine Scheibe." Ist dieses Argument gültig, ungültig oder etwas anderes? Und ist an diesem Argument irgend etwas auffällig, ungewöhnlich oder seltsam?

7. April 2016

Einfache Übungen

Stellen Sie bitte für mindestens eine der folgenden Aussagen eine richtige Wahrheitstabelle auf. Als Verzierungen sind florale Motive und Tierdarstellungen zulässig.

  1. ¬P∧P
  2. P→¬P
  3. ¬¬(P∧P)
  4. P→(Q∨R)
  5. P→(Q→R)

Stellen Sie bitte für mindestens eines der folgenden Argumente fest, ob es (klassisch aussagenlogisch) gültig ist oder nicht.

  1. Wenn es regnet, dann ist die Straße nass. Es regnet nicht. Daraus folgt: Die Straße ist nicht nass.
  2. Wenn es regnet, dann ist die Straße nass. Die Straße ist nicht nass. Daraus folgt: Es regnet nicht.
  3. Weil es regnet, ist die Straß nass. Es regnet. Daraus folgt: Die Straße ist nass.

Nicht so einfache Aufgaben

  1. Den Wahrheitswertverlauf der Aussage "Wenn es regnet, dann ist die Straße nass" (wenn mit dem "wenn… dann" dasselbe gemeint ist wie mit dem Pfeil) kennen Sie (gell!?). Wie sieht nun aber der Wahrheitswertverlauf folgender Aussage aus: "Nur wenn ich in Syntax eine positive Note bekomme, kann ich eine positive Abschlussnote bekommen"? Und wie kann man diese Aussage in die Sprache der klassischen Aussagenlogik übersetzen?
  2. Die Verneinung (¬) nennt man ein einstelliges Konnektiv, weil es sich mit nur einer Aussage zu verbindet (z.B. "Es ist nicht der Fall, dass es regnet"). Aus analogen Gründen nennt man die anderen unserer Konnektive zweistellige Konnektive. Jetzt zu den Fragen:
    1. Wievielstellig muss ein Konnektiv mindestens sein?
    2. Wievielstellig kann ein Konnektiv höchstens sein?
    3. Wie viele verschiedene einstellige Konnektive kann es geben?
    4. Wie viele verschiedene zweistellige Konnektive kann es geben?

14. April 2016

Routineaufgaben

Stellen Sie bitte die eine oder andere Wahrheitstabelle für die eine oder andere Aussage auf!

Prüfen Sie bitte das eine oder andere Argument auf seine aussagenlogische Gültigkeit!

(Wenn Sie sich nicht selber Aussagen und Argumente ausdenken möchten, dann bedienen Sie sich einfach bei den Hausübungen der vergangenen Semester.)

Stellen Sie bitte für den einen oder anderen der folgenden Wahrheitswertverläfe mindestens eine Aussage auf, die (bei unserer Konvention der Aufzählung der Interpretationen) jeweiligen Wahrheitswertverlauf liefert:

  1. F-W
  2. F-F
  3. F-F-W-F
  4. F-W-W-F
  5. F-W-F-F-F-F-W-W

Interessantere Aufgaben

Man nennt eine Menge von Konnektiven genau dann funktional vollständig, wenn sich mit den Konnektiven bzw. ihren Wahrheitswertfunktionen alllle nur möglichen Wahrheitsfunktionen ausdrücken lassen. Durch das Verfahren, das wir heute gelernt haben, wissen Sie, dass sich alleine mit Negation, Konjunktion und Disjunktion alllle Wahrheitswertverläfe ausdrücken lassen, d.h.: dass die Menge {∧, ∨ ¬} funktional vollständig ist. Und jetzt die Fragen:

  1. Gibt es andere funktional vollständige Mengen von Konnektiven? Wenn ja: warum und welche; wenn nein: warum nicht?
  2. Wenn ja: Wie viele verschiedene Konnektive (bzw. deren Wahrheitsfunktionen) braucht man mindestens für funktionale Vollständigkeit, d.h. um damit alllle nur möglichen Wahrheitsfunktionen ausdrücken zu können?

21. April 2016

Heute gibt es keine neue Hausübung, aber Sie finden unter den bisherigen Hausübungen und unter jenen der vergangenen Semester sicher genug Übungsmöglichkeiten.

28. April 2016

Leiten Sie bitte das eine oder andere Argument her, zum Beispiel aus der folgenden Menge von Argumenten:

  1. (P∧Q)∧R ⊢ Q
  2. P→R ⊢ (P∧Q)→R
  3. P∧(Q∧R), S ⊢ Q∧S
  4. P∧Q ⊢ R→(Q∧R)
  5. P∧(Q∧R) ⊢ (P∧Q)∧R
  6. P∧Q ⊢ R→(Q∧R)
  7. ⊢ P→P
  8. P→(Q→R) ⊢ (P→Q)→(P→R)

12. Mai 2016

Leiten Sie bitte ein paar Argumente her, z.B. welche aus der folgenden Liste:

  1. P → Q, Q → R, R → S ⊢ P → S
  2. P → (Q → R), (P → Q) ⊢ P → R
  3. P ⊢ Q → P
  4. P → (Q ∧ R) ⊢ P → R
  5. P → (R ∧ Q) ⊢ P → (Q ∧ R)
  6. P → Q, R ∧ (P ∧ (R → S)) ⊢ Q ∧ S
  7. (P ∧ Q) → R ⊢ P → (Q → R)
  8. P → (Q → R) ⊢ (P ∧ Q) → R

19. Mai 2016

Leiten Sie bitte einige Argumente her, zum Beispiel welche aus der folgenden Liste.

Einfach

  1. ¬ P ⊢ ¬ (P ∧ Q)
  2. ⊢ ¬ (P ∧ ¬ P)
  3. P ⊢ ¬P → Q
  4. P ∧ ¬ P, P → Q ⊢ ¬ Q
  5. P ∧ ¬ P, P → Q ⊢ Q
  6. P ∧ ¬ P ⊢ Q

Nicht einfach

  1. ⊢ (P → Q) ∨ (Q → P)
  2. ⊢ P ∨ ¬ P
  3. ¬(P ∨ Q) ⊢ ¬ (¬ P ∧ ¬ Q)
  4. ¬P ∨ ¬ Q ⊢ ¬ (P ∧ Q)
  5. ¬ (P ∧ Q) ⊢ ¬ P ∨ ¬ Q

9. Juni 2016

Hm, weißauch nicht. Leiten Sie halt noch ein paar bzw. ein paar von Ihnen viele Herleitungen her und/oder übersetzen Sie einige der folgenden Aussagen in die bzw. aus der Sprache der Prädikatenlogik...

Wenn Sie keine bessere Idee haben, können Sie das zweistellige Prädikat L…1…2 mit "…1 liebt …2 übersetzen."

  1. ∀x∀yLxy
  2. ∀y∀xLxy
  3. ∃x∀yLxy
  4. ∃y∀xLxy
  5. ∀x∃yLxy
  6. ∀y∃xLxy
  7. Alle Schweine sind rosa.
  8. Nur Schweine grunzen schweinisch.
  9. Es gibt mindestens ein Schwein, das nicht rosa ist.

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2016-06-10
christian.gottschall@posteo.de